Linear Programming Problem -- a walk through

Reading the data file: lp_demo_09.txt
      Number of variables set to 3
line 1: 2 3 4 le 72 --->   Inequality is:   2 x1  + 3 x2  + 4 x3  ≤  72
line 2: 2 3 8 le 96 --->   Inequality is:   2 x1  + 3 x2  + 8 x3  ≤  96
line 3: 1 6 10 le 120 --->   Inequality is:   1 x1  + 6 x2  + 10 x3  ≤  120
line 4: 6 3 20 le 240 --->   Inequality is:   6 x1  + 3 x2  + 20 x3  ≤  240
line 5: 2 3 24 le 240 --->   Inequality is:   2 x1  + 3 x2  + 24 x3  ≤  240
line 6: maximize 10 15 24 --->       set Maximize:   10 x1  + 15 x2  + 24 x3
Create the Initial Tableau After reconfiguring the objective function and converting any '≥' constraints to a '≤' form, we can produce the following tableau:
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   2   3   4   1   0   0   0   0   0   72 
 s2   2   3   8   0   1   0   0   0   0   96 
 s3   1   6   10   0   0   1   0   0   0   120 
 s4   6   3   20   0   0   0   1   0   0   240 
 s5   2   3   24   0   0   0   0   1   0   240 
   -10   -15   -24   0   0   0   0   0   1   0 
Processing
There is at least one negative value in the last row (excluding the final column). Therefore we need to start the regular simplex processing algorithm.

The lowest negative value in the last row is -24 and that is in column 3. So make column 3 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   2   3   4   1   0   0   0   0   0   72 
 s2   2   3   8   0   1   0   0   0   0   96 
 s3   1   6   10   0   0   1   0   0   0   120 
 s4   6   3   20   0   0   0   1   0   0   240 
 s5   2   3   24   0   0   0   0   1   0   240 
   -10   -15   -24   0   0   0   0   0   1   0 
The lowest ratio between positive values in column 3 and corresponding values in the the final column is 10 and that is in row 5. So make row 5 the work row. That makes the item in row 5 and column 3 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   2   3   4   1   0   0   0   0   0   72 
 s2   2   3   8   0   1   0   0   0   0   96 
 s3   1   6   10   0   0   1   0   0   0   120 
 s4   6   3   20   0   0   0   1   0   0   240 
 s5   2   3   24   0   0   0   0   1   0   240 
   -10   -15   -24   0   0   0   0   0   1   0 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 5 by 1 / 24.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   2   3   4   1   0   0   0   0   0   72 
 s2   2   3   8   0   1   0   0   0   0   96 
 s3   1   6   10   0   0   1   0   0   0   120 
 s4   6   3   20   0   0   0   1   0   0   240 
 s5   1/12   1/8   1   0   0   0   0   1/24   0   10 
   -10   -15   -24   0   0   0   0   0   1   0 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 3 to 0.
  1. multiply row 5 by -4 and add to row 1.
  2. multiply row 5 by -8 and add to row 2.
  3. multiply row 5 by -10 and add to row 3.
  4. multiply row 5 by -20 and add to row 4.
  5. multiply row 5 by 24 and add to row 6.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   5/3   5/2   0   1   0   0   0   -1/6   0   32 
 s2   4/3   2   0   0   1   0   0   -1/3   0   16 
 s3   1/6   19/4   0   0   0   1   0   -5/12   0   20 
 s4   13/3   1/2   0   0   0   0   1   -5/6   0   40 
 s5   1/12   1/8   1   0   0   0   0   1/24   0   10 
   -8   -12   0   0   0   0   0   1   1   240 
Now we need to copy the heading for the work column (column 3) to the heading for the work row (row 5).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   5/3   5/2   0   1   0   0   0   -1/6   0   32 
 s2   4/3   2   0   0   1   0   0   -1/3   0   16 
 s3   1/6   19/4   0   0   0   1   0   -5/12   0   20 
 s4   13/3   1/2   0   0   0   0   1   -5/6   0   40 
 x3   1/12   1/8   1   0   0   0   0   1/24   0   10 
   -8   -12   0   0   0   0   0   1   1   240 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -12 and that is in column 2. So make column 2 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   5/3   5/2   0   1   0   0   0   -1/6   0   32 
 s2   4/3   2   0   0   1   0   0   -1/3   0   16 
 s3   1/6   19/4   0   0   0   1   0   -5/12   0   20 
 s4   13/3   1/2   0   0   0   0   1   -5/6   0   40 
 x3   1/12   1/8   1   0   0   0   0   1/24   0   10 
   -8   -12   0   0   0   0   0   1   1   240 
The lowest ratio between positive values in column 2 and corresponding values in the the final column is 4.21052631578947 and that is in row 3. So make row 3 the work row. That makes the item in row 3 and column 2 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   5/3   5/2   0   1   0   0   0   -1/6   0   32 
 s2   4/3   2   0   0   1   0   0   -1/3   0   16 
 s3   1/6   19/4   0   0   0   1   0   -5/12   0   20 
 s4   13/3   1/2   0   0   0   0   1   -5/6   0   40 
 x3   1/12   1/8   1   0   0   0   0   1/24   0   10 
   -8   -12   0   0   0   0   0   1   1   240 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 3 by 4 / 19.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   5/3   5/2   0   1   0   0   0   -1/6   0   32 
 s2   4/3   2   0   0   1   0   0   -1/3   0   16 
 s3   2/57   1   0   0   0   4/19   0   -5/57   0   80/19 
 s4   13/3   1/2   0   0   0   0   1   -5/6   0   40 
 x3   1/12   1/8   1   0   0   0   0   1/24   0   10 
   -8   -12   0   0   0   0   0   1   1   240 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 2 to 0.
  1. multiply row 3 by -5 / 2 and add to row 1.
  2. multiply row 3 by -2 and add to row 2.
  3. multiply row 3 by -1 / 2 and add to row 4.
  4. multiply row 3 by -1 / 8 and add to row 5.
  5. multiply row 3 by 12 and add to row 6.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   30/19   0   0   1   0   -10/19   0   1/19   0   408/19 
 s2   24/19   0   0   0   1   -8/19   0   -3/19   0   144/19 
 s3   2/57   1   0   0   0   4/19   0   -5/57   0   80/19 
 s4   82/19   0   0   0   0   -2/19   1   -15/19   0   720/19 
 x3   3/38   0   1   0   0   -1/38   0   1/19   0   180/19 
   -144/19   0   0   0   0   48/19   0   -1/19   1   5520/19 
Now we need to copy the heading for the work column (column 2) to the heading for the work row (row 3).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   30/19   0   0   1   0   -10/19   0   1/19   0   408/19 
 s2   24/19   0   0   0   1   -8/19   0   -3/19   0   144/19 
 x2   2/57   1   0   0   0   4/19   0   -5/57   0   80/19 
 s4   82/19   0   0   0   0   -2/19   1   -15/19   0   720/19 
 x3   3/38   0   1   0   0   -1/38   0   1/19   0   180/19 
   -144/19   0   0   0   0   48/19   0   -1/19   1   5520/19 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -144 / 19  = -7.57894736842105 and that is in column 1. So make column 1 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   30/19   0   0   1   0   -10/19   0   1/19   0   408/19 
 s2   24/19   0   0   0   1   -8/19   0   -3/19   0   144/19 
 x2   2/57   1   0   0   0   4/19   0   -5/57   0   80/19 
 s4   82/19   0   0   0   0   -2/19   1   -15/19   0   720/19 
 x3   3/38   0   1   0   0   -1/38   0   1/19   0   180/19 
   -144/19   0   0   0   0   48/19   0   -1/19   1   5520/19 
The lowest ratio between positive values in column 1 and corresponding values in the the final column is 6 and that is in row 2. So make row 2 the work row. That makes the item in row 2 and column 1 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   30/19   0   0   1   0   -10/19   0   1/19   0   408/19 
 s2   24/19   0   0   0   1   -8/19   0   -3/19   0   144/19 
 x2   2/57   1   0   0   0   4/19   0   -5/57   0   80/19 
 s4   82/19   0   0   0   0   -2/19   1   -15/19   0   720/19 
 x3   3/38   0   1   0   0   -1/38   0   1/19   0   180/19 
   -144/19   0   0   0   0   48/19   0   -1/19   1   5520/19 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 2 by 19 / 24.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   30/19   0   0   1   0   -10/19   0   1/19   0   408/19 
 s2   1   0   0   0   19/24   -1/3   0   -1/8   0   6 
 x2   2/57   1   0   0   0   4/19   0   -5/57   0   80/19 
 s4   82/19   0   0   0   0   -2/19   1   -15/19   0   720/19 
 x3   3/38   0   1   0   0   -1/38   0   1/19   0   180/19 
   -144/19   0   0   0   0   48/19   0   -1/19   1   5520/19 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 1 to 0.
  1. multiply row 2 by -30 / 19 and add to row 1.
  2. multiply row 2 by -2 / 57 and add to row 3.
  3. multiply row 2 by -82 / 19 and add to row 4.
  4. multiply row 2 by -3 / 38 and add to row 5.
  5. multiply row 2 by 144 / 19 and add to row 6.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   0   0   0   1   -5/4   0   0   1/4   0   12 
 s2   1   0   0   0   19/24   -1/3   0   -1/8   0   6 
 x2   0   1   0   0   -1/36   2/9   0   -1/12   0   4 
 s4   0   0   0   0   -41/12   4/3   1   -1/4   0   12 
 x3   0   0   1   0   -1/16   0   0   1/16   0   9 
   0   0   0   0   6   0   0   -1   1   336 
Now we need to copy the heading for the work column (column 1) to the heading for the work row (row 2).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   0   0   0   1   -5/4   0   0   1/4   0   12 
 x1   1   0   0   0   19/24   -1/3   0   -1/8   0   6 
 x2   0   1   0   0   -1/36   2/9   0   -1/12   0   4 
 s4   0   0   0   0   -41/12   4/3   1   -1/4   0   12 
 x3   0   0   1   0   -1/16   0   0   1/16   0   9 
   0   0   0   0   6   0   0   -1   1   336 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -1 and that is in column 8. So make column 8 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   0   0   0   1   -5/4   0   0   1/4   0   12 
 x1   1   0   0   0   19/24   -1/3   0   -1/8   0   6 
 x2   0   1   0   0   -1/36   2/9   0   -1/12   0   4 
 s4   0   0   0   0   -41/12   4/3   1   -1/4   0   12 
 x3   0   0   1   0   -1/16   0   0   1/16   0   9 
   0   0   0   0   6   0   0   -1   1   336 
The lowest ratio between positive values in column 8 and corresponding values in the the final column is 48 and that is in row 1. So make row 1 the work row. That makes the item in row 1 and column 8 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   0   0   0   1   -5/4   0   0   1/4   0   12 
 x1   1   0   0   0   19/24   -1/3   0   -1/8   0   6 
 x2   0   1   0   0   -1/36   2/9   0   -1/12   0   4 
 s4   0   0   0   0   -41/12   4/3   1   -1/4   0   12 
 x3   0   0   1   0   -1/16   0   0   1/16   0   9 
   0   0   0   0   6   0   0   -1   1   336 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 1 by 4.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   0   0   0   4   -5   0   0   1   0   48 
 x1   1   0   0   0   19/24   -1/3   0   -1/8   0   6 
 x2   0   1   0   0   -1/36   2/9   0   -1/12   0   4 
 s4   0   0   0   0   -41/12   4/3   1   -1/4   0   12 
 x3   0   0   1   0   -1/16   0   0   1/16   0   9 
   0   0   0   0   6   0   0   -1   1   336 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 8 to 0.
  1. multiply row 1 by 1 / 8 and add to row 2.
  2. multiply row 1 by 1 / 12 and add to row 3.
  3. multiply row 1 by 1 / 4 and add to row 4.
  4. multiply row 1 by -1 / 16 and add to row 5.
  5. multiply row 1 by 1 and add to row 6.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   0   0   0   4   -5   0   0   1   0   48 
 x1   1   0   0   1/2   1/6   -1/3   0   0   0   12 
 x2   0   1   0   1/3   -4/9   2/9   0   0   0   8 
 s4   0   0   0   1   -14/3   4/3   1   0   0   24 
 x3   0   0   1   -1/4   1/4   0   0   0   0   6 
   0   0   0   4   1   0   0   0   1   384 
Now we need to copy the heading for the work column (column 8) to the heading for the work row (row 1).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s5   0   0   0   4   -5   0   0   1   0   48 
 x1   1   0   0   1/2   1/6   -1/3   0   0   0   12 
 x2   0   1   0   1/3   -4/9   2/9   0   0   0   8 
 s4   0   0   0   1   -14/3   4/3   1   0   0   24 
 x3   0   0   1   -1/4   1/4   0   0   0   0   6 
   0   0   0   4   1   0   0   0   1   384 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.
There are no more negative values is the final column. Therefore, regular processing is done...

Display the answers. Note that if a variable does not appear in the following list then it should be given the value 0. The list is generated from the final tableau by reading down the labels on the left and assigning to each the value in the rightmost column. Any slack variables in the labels on the left will be included in the list, but they can be ignored.
When

the objective function has a Maximum = 384

©Roger M. Palay     Saline, MI 48176     October, 2010