Linear Programming Problem -- a walk through

Reading the data file: lp_demo_07.txt
      Number of variables set to 3
line 1: 13 4 25 le 275 --->   Inequality is:   13 x1  + 4 x2  + 25 x3  ≤  275
line 2: 6 3 10 le 120 --->   Inequality is:   6 x1  + 3 x2  + 10 x3  ≤  120
line 3: 6 3 1 le 66 --->   Inequality is:   6 x1  + 3 x2  + 1 x3  ≤  66
line 4: 3 3 -1 le 33 --->   Inequality is:   3 x1  + 3 x2  + -1 x3  ≤  33
line 5: 9 15 2 le 165 --->   Inequality is:   9 x1  + 15 x2  + 2 x3  ≤  165
line 6: 3 5 5 le 81 --->   Inequality is:   3 x1  + 5 x2  + 5 x3  ≤  81
line 7: maximize 5 3 4 --->       set Maximize:   5 x1  + 3 x2  + 4 x3
Create the Initial Tableau After reconfiguring the objective function and converting any '≥' constraints to a '≤' form, we can produce the following tableau:
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   13   4   25   1   0   0   0   0   0   0   275 
 s2   6   3   10   0   1   0   0   0   0   0   120 
 s3   6   3   1   0   0   1   0   0   0   0   66 
 s4   3   3   -1   0   0   0   1   0   0   0   33 
 s5   9   15   2   0   0   0   0   1   0   0   165 
 s6   3   5   5   0   0   0   0   0   1   0   81 
   -5   -3   -4   0   0   0   0   0   0   1   0 
Processing
There is at least one negative value in the last row (excluding the final column). Therefore we need to start the regular simplex processing algorithm.

The lowest negative value in the last row is -5 and that is in column 1. So make column 1 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   13   4   25   1   0   0   0   0   0   0   275 
 s2   6   3   10   0   1   0   0   0   0   0   120 
 s3   6   3   1   0   0   1   0   0   0   0   66 
 s4   3   3   -1   0   0   0   1   0   0   0   33 
 s5   9   15   2   0   0   0   0   1   0   0   165 
 s6   3   5   5   0   0   0   0   0   1   0   81 
   -5   -3   -4   0   0   0   0   0   0   1   0 
The lowest ratio between positive values in column 1 and corresponding values in the the final column is 11 and that is in row 3. So make row 3 the work row. That makes the item in row 3 and column 1 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   13   4   25   1   0   0   0   0   0   0   275 
 s2   6   3   10   0   1   0   0   0   0   0   120 
 s3   6   3   1   0   0   1   0   0   0   0   66 
 s4   3   3   -1   0   0   0   1   0   0   0   33 
 s5   9   15   2   0   0   0   0   1   0   0   165 
 s6   3   5   5   0   0   0   0   0   1   0   81 
   -5   -3   -4   0   0   0   0   0   0   1   0 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 3 by 1 / 6.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   13   4   25   1   0   0   0   0   0   0   275 
 s2   6   3   10   0   1   0   0   0   0   0   120 
 s3   1   1/2   1/6   0   0   1/6   0   0   0   0   11 
 s4   3   3   -1   0   0   0   1   0   0   0   33 
 s5   9   15   2   0   0   0   0   1   0   0   165 
 s6   3   5   5   0   0   0   0   0   1   0   81 
   -5   -3   -4   0   0   0   0   0   0   1   0 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 1 to 0.
  1. multiply row 3 by -13 and add to row 1.
  2. multiply row 3 by -6 and add to row 2.
  3. multiply row 3 by -3 and add to row 4.
  4. multiply row 3 by -9 and add to row 5.
  5. multiply row 3 by -3 and add to row 6.
  6. multiply row 3 by 5 and add to row 7.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   0   -5/2   137/6   1   0   -13/6   0   0   0   0   132 
 s2   0   0   9   0   1   -1   0   0   0   0   54 
 s3   1   1/2   1/6   0   0   1/6   0   0   0   0   11 
 s4   0   3/2   -3/2   0   0   -1/2   1   0   0   0   0 
 s5   0   21/2   1/2   0   0   -3/2   0   1   0   0   66 
 s6   0   7/2   9/2   0   0   -1/2   0   0   1   0   48 
   0   -1/2   -19/6   0   0   5/6   0   0   0   1   55 
Now we need to copy the heading for the work column (column 1) to the heading for the work row (row 3).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   0   -5/2   137/6   1   0   -13/6   0   0   0   0   132 
 s2   0   0   9   0   1   -1   0   0   0   0   54 
 x1   1   1/2   1/6   0   0   1/6   0   0   0   0   11 
 s4   0   3/2   -3/2   0   0   -1/2   1   0   0   0   0 
 s5   0   21/2   1/2   0   0   -3/2   0   1   0   0   66 
 s6   0   7/2   9/2   0   0   -1/2   0   0   1   0   48 
   0   -1/2   -19/6   0   0   5/6   0   0   0   1   55 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -19 / 6  = -3.16666666666667 and that is in column 3. So make column 3 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   0   -5/2   137/6   1   0   -13/6   0   0   0   0   132 
 s2   0   0   9   0   1   -1   0   0   0   0   54 
 x1   1   1/2   1/6   0   0   1/6   0   0   0   0   11 
 s4   0   3/2   -3/2   0   0   -1/2   1   0   0   0   0 
 s5   0   21/2   1/2   0   0   -3/2   0   1   0   0   66 
 s6   0   7/2   9/2   0   0   -1/2   0   0   1   0   48 
   0   -1/2   -19/6   0   0   5/6   0   0   0   1   55 
The lowest ratio between positive values in column 3 and corresponding values in the the final column is 5.78102189781022 and that is in row 1. So make row 1 the work row. That makes the item in row 1 and column 3 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   0   -5/2   137/6   1   0   -13/6   0   0   0   0   132 
 s2   0   0   9   0   1   -1   0   0   0   0   54 
 x1   1   1/2   1/6   0   0   1/6   0   0   0   0   11 
 s4   0   3/2   -3/2   0   0   -1/2   1   0   0   0   0 
 s5   0   21/2   1/2   0   0   -3/2   0   1   0   0   66 
 s6   0   7/2   9/2   0   0   -1/2   0   0   1   0   48 
   0   -1/2   -19/6   0   0   5/6   0   0   0   1   55 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 1 by 6 / 137.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   0   -15/137   1   6/137   0   -13/137   0   0   0   0   792/137 
 s2   0   0   9   0   1   -1   0   0   0   0   54 
 x1   1   1/2   1/6   0   0   1/6   0   0   0   0   11 
 s4   0   3/2   -3/2   0   0   -1/2   1   0   0   0   0 
 s5   0   21/2   1/2   0   0   -3/2   0   1   0   0   66 
 s6   0   7/2   9/2   0   0   -1/2   0   0   1   0   48 
   0   -1/2   -19/6   0   0   5/6   0   0   0   1   55 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 3 to 0.
  1. multiply row 1 by -9 and add to row 2.
  2. multiply row 1 by -1 / 6 and add to row 3.
  3. multiply row 1 by 3 / 2 and add to row 4.
  4. multiply row 1 by -1 / 2 and add to row 5.
  5. multiply row 1 by -9 / 2 and add to row 6.
  6. multiply row 1 by 19 / 6 and add to row 7.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 s1   0   -15/137   1   6/137   0   -13/137   0   0   0   0   792/137 
 s2   0   135/137   0   -54/137   1   -20/137   0   0   0   0   270/137 
 x1   1   71/137   0   -1/137   0   25/137   0   0   0   0   1375/137 
 s4   0   183/137   0   9/137   0   -88/137   1   0   0   0   1188/137 
 s5   0   1446/137   0   -3/137   0   -199/137   0   1   0   0   8646/137 
 s6   0   547/137   0   -27/137   0   -10/137   0   0   1   0   3012/137 
   0   -116/137   0   19/137   0   73/137   0   0   0   1   10043/137 
Now we need to copy the heading for the work column (column 3) to the heading for the work row (row 1).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   -15/137   1   6/137   0   -13/137   0   0   0   0   792/137 
 s2   0   135/137   0   -54/137   1   -20/137   0   0   0   0   270/137 
 x1   1   71/137   0   -1/137   0   25/137   0   0   0   0   1375/137 
 s4   0   183/137   0   9/137   0   -88/137   1   0   0   0   1188/137 
 s5   0   1446/137   0   -3/137   0   -199/137   0   1   0   0   8646/137 
 s6   0   547/137   0   -27/137   0   -10/137   0   0   1   0   3012/137 
   0   -116/137   0   19/137   0   73/137   0   0   0   1   10043/137 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -116 / 137  = -0.846715328467153 and that is in column 2. So make column 2 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   -15/137   1   6/137   0   -13/137   0   0   0   0   792/137 
 s2   0   135/137   0   -54/137   1   -20/137   0   0   0   0   270/137 
 x1   1   71/137   0   -1/137   0   25/137   0   0   0   0   1375/137 
 s4   0   183/137   0   9/137   0   -88/137   1   0   0   0   1188/137 
 s5   0   1446/137   0   -3/137   0   -199/137   0   1   0   0   8646/137 
 s6   0   547/137   0   -27/137   0   -10/137   0   0   1   0   3012/137 
   0   -116/137   0   19/137   0   73/137   0   0   0   1   10043/137 
The lowest ratio between positive values in column 2 and corresponding values in the the final column is 2 and that is in row 2. So make row 2 the work row. That makes the item in row 2 and column 2 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   -15/137   1   6/137   0   -13/137   0   0   0   0   792/137 
 s2   0   135/137   0   -54/137   1   -20/137   0   0   0   0   270/137 
 x1   1   71/137   0   -1/137   0   25/137   0   0   0   0   1375/137 
 s4   0   183/137   0   9/137   0   -88/137   1   0   0   0   1188/137 
 s5   0   1446/137   0   -3/137   0   -199/137   0   1   0   0   8646/137 
 s6   0   547/137   0   -27/137   0   -10/137   0   0   1   0   3012/137 
   0   -116/137   0   19/137   0   73/137   0   0   0   1   10043/137 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 2 by 137 / 135.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   -15/137   1   6/137   0   -13/137   0   0   0   0   792/137 
 s2   0   1   0   -2/5   137/135   -4/27   0   0   0   0   2 
 x1   1   71/137   0   -1/137   0   25/137   0   0   0   0   1375/137 
 s4   0   183/137   0   9/137   0   -88/137   1   0   0   0   1188/137 
 s5   0   1446/137   0   -3/137   0   -199/137   0   1   0   0   8646/137 
 s6   0   547/137   0   -27/137   0   -10/137   0   0   1   0   3012/137 
   0   -116/137   0   19/137   0   73/137   0   0   0   1   10043/137 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 2 to 0.
  1. multiply row 2 by 15 / 137 and add to row 1.
  2. multiply row 2 by -71 / 137 and add to row 3.
  3. multiply row 2 by -183 / 137 and add to row 4.
  4. multiply row 2 by -1446 / 137 and add to row 5.
  5. multiply row 2 by -547 / 137 and add to row 6.
  6. multiply row 2 by 116 / 137 and add to row 7.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 s2   0   1   0   -2/5   137/135   -4/27   0   0   0   0   2 
 x1   1   0   0   1/5   -71/135   7/27   0   0   0   0   9 
 s4   0   0   0   3/5   -61/45   -4/9   1   0   0   0   6 
 s5   0   0   0   21/5   -482/45   1/9   0   1   0   0   42 
 s6   0   0   0   7/5   -547/135   14/27   0   0   1   0   14 
   0   0   0   -1/5   116/135   11/27   0   0   0   1   75 
Now we need to copy the heading for the work column (column 2) to the heading for the work row (row 2).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 x2   0   1   0   -2/5   137/135   -4/27   0   0   0   0   2 
 x1   1   0   0   1/5   -71/135   7/27   0   0   0   0   9 
 s4   0   0   0   3/5   -61/45   -4/9   1   0   0   0   6 
 s5   0   0   0   21/5   -482/45   1/9   0   1   0   0   42 
 s6   0   0   0   7/5   -547/135   14/27   0   0   1   0   14 
   0   0   0   -1/5   116/135   11/27   0   0   0   1   75 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -1 / 5  = -0.2 and that is in column 4. So make column 4 the work column.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 x2   0   1   0   -2/5   137/135   -4/27   0   0   0   0   2 
 x1   1   0   0   1/5   -71/135   7/27   0   0   0   0   9 
 s4   0   0   0   3/5   -61/45   -4/9   1   0   0   0   6 
 s5   0   0   0   21/5   -482/45   1/9   0   1   0   0   42 
 s6   0   0   0   7/5   -547/135   14/27   0   0   1   0   14 
   0   0   0   -1/5   116/135   11/27   0   0   0   1   75 
The lowest ratio between positive values in column 4 and corresponding values in the the final column is 10 and that is in row 4. So make row 4 the work row. That makes the item in row 4 and column 4 the pivot item.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 x2   0   1   0   -2/5   137/135   -4/27   0   0   0   0   2 
 x1   1   0   0   1/5   -71/135   7/27   0   0   0   0   9 
 s4   0   0   0   3/5   -61/45   -4/9   1   0   0   0   6 
 s5   0   0   0   21/5   -482/45   1/9   0   1   0   0   42 
 s6   0   0   0   7/5   -547/135   14/27   0   0   1   0   14 
   0   0   0   -1/5   116/135   11/27   0   0   0   1   75 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 4 by 5 / 3.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 x2   0   1   0   -2/5   137/135   -4/27   0   0   0   0   2 
 x1   1   0   0   1/5   -71/135   7/27   0   0   0   0   9 
 s4   0   0   0   1   -61/27   -20/27   5/3   0   0   0   10 
 s5   0   0   0   21/5   -482/45   1/9   0   1   0   0   42 
 s6   0   0   0   7/5   -547/135   14/27   0   0   1   0   14 
   0   0   0   -1/5   116/135   11/27   0   0   0   1   75 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 4 to 0.
  1. multiply row 4 by 0 and add to row 1.
  2. multiply row 4 by 2 / 5 and add to row 2.
  3. multiply row 4 by -1 / 5 and add to row 3.
  4. multiply row 4 by -21 / 5 and add to row 5.
  5. multiply row 4 by -7 / 5 and add to row 6.
  6. multiply row 4 by 1 / 5 and add to row 7.
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 x2   0   1   0   0   1/9   -4/9   2/3   0   0   0   6 
 x1   1   0   0   0   -2/27   11/27   -1/3   0   0   0   7 
 s4   0   0   0   1   -61/27   -20/27   5/3   0   0   0   10 
 s5   0   0   0   0   -11/9   29/9   -7   1   0   0   0 
 s6   0   0   0   0   -8/9   14/9   -7/3   0   1   0   0 
   0   0   0   0   11/27   7/27   1/3   0   0   1   77 
Now we need to copy the heading for the work column (column 4) to the heading for the work row (row 4).
   x1   x2   x3   s1   s2   s3   s4   s5   s6   z   
 x3   0   0   1   0   1/9   -1/9   0   0   0   0   6 
 x2   0   1   0   0   1/9   -4/9   2/3   0   0   0   6 
 x1   1   0   0   0   -2/27   11/27   -1/3   0   0   0   7 
 s1   0   0   0   1   -61/27   -20/27   5/3   0   0   0   10 
 s5   0   0   0   0   -11/9   29/9   -7   1   0   0   0 
 s6   0   0   0   0   -8/9   14/9   -7/3   0   1   0   0 
   0   0   0   0   11/27   7/27   1/3   0   0   1   77 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.
There are no more negative values is the final column. Therefore, regular processing is done...

Display the answers. Note that if a variable does not appear in the following list then it should be given the value 0. The list is generated from the final tableau by reading down the labels on the left and assigning to each the value in the rightmost column. Any slack variables in the labels on the left will be included in the list, but they can be ignored.
When

the objective function has a Maximum = 77

©Roger M. Palay     Saline, MI 48176     October, 2010