Linear Programming Problem -- a walk through

Reading the data file: lp_demo_01d2.txt
      Number of variables set to 2
line 1: -8 3 le 12 --->   Inequality is:   -8 x1  + 3 x2  ≤  12
line 2: -2 9 le 99 --->   Inequality is:   -2 x1  + 9 x2  ≤  99
line 3: -3 7 le 56 --->   Inequality is:   -3 x1  + 7 x2  ≤  56
line 4: 4 3 le 117 --->   Inequality is:   4 x1  + 3 x2  ≤  117
line 5: 7 4 le 191 --->   Inequality is:   7 x1  + 4 x2  ≤  191
line 6: maximize 1 2 --->       set Maximize:   1 x1  + 2 x2
Create the Initial Tableau After reconfiguring the objective function and converting any '≥' constraints to a '≤' form, we can produce the following tableau:
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   -8   3   1   0   0   0   0   0   12 
 s2   -2   9   0   1   0   0   0   0   99 
 s3   -3   7   0   0   1   0   0   0   56 
 s4   4   3   0   0   0   1   0   0   117 
 s5   7   4   0   0   0   0   1   0   191 
   -1   -2   0   0   0   0   0   1   0 
Processing
There is at least one negative value in the last row (excluding the final column). Therefore we need to start the regular simplex processing algorithm.

The lowest negative value in the last row is -2 and that is in column 2. So make column 2 the work column.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   -8   3   1   0   0   0   0   0   12 
 s2   -2   9   0   1   0   0   0   0   99 
 s3   -3   7   0   0   1   0   0   0   56 
 s4   4   3   0   0   0   1   0   0   117 
 s5   7   4   0   0   0   0   1   0   191 
   -1   -2   0   0   0   0   0   1   0 
The lowest ratio between positive values in column 2 and corresponding values in the the final column is 4 and that is in row 1. So make row 1 the work row. That makes the item in row 1 and column 2 the pivot item.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   -8   3   1   0   0   0   0   0   12 
 s2   -2   9   0   1   0   0   0   0   99 
 s3   -3   7   0   0   1   0   0   0   56 
 s4   4   3   0   0   0   1   0   0   117 
 s5   7   4   0   0   0   0   1   0   191 
   -1   -2   0   0   0   0   0   1   0 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 1 by 1 / 3.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   -8/3   1   1/3   0   0   0   0   0   4 
 s2   -2   9   0   1   0   0   0   0   99 
 s3   -3   7   0   0   1   0   0   0   56 
 s4   4   3   0   0   0   1   0   0   117 
 s5   7   4   0   0   0   0   1   0   191 
   -1   -2   0   0   0   0   0   1   0 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 2 to 0.
  1. multiply row 1 by -9 and add to row 2.
  2. multiply row 1 by -7 and add to row 3.
  3. multiply row 1 by -3 and add to row 4.
  4. multiply row 1 by -4 and add to row 5.
  5. multiply row 1 by 2 and add to row 6.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 s1   -8/3   1   1/3   0   0   0   0   0   4 
 s2   22   0   -3   1   0   0   0   0   63 
 s3   47/3   0   -7/3   0   1   0   0   0   28 
 s4   12   0   -1   0   0   1   0   0   105 
 s5   53/3   0   -4/3   0   0   0   1   0   175 
   -19/3   0   2/3   0   0   0   0   1   8 
Now we need to copy the heading for the work column (column 2) to the heading for the work row (row 1).
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   -8/3   1   1/3   0   0   0   0   0   4 
 s2   22   0   -3   1   0   0   0   0   63 
 s3   47/3   0   -7/3   0   1   0   0   0   28 
 s4   12   0   -1   0   0   1   0   0   105 
 s5   53/3   0   -4/3   0   0   0   1   0   175 
   -19/3   0   2/3   0   0   0   0   1   8 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -19 / 3  = -6.33333333333333 and that is in column 1. So make column 1 the work column.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   -8/3   1   1/3   0   0   0   0   0   4 
 s2   22   0   -3   1   0   0   0   0   63 
 s3   47/3   0   -7/3   0   1   0   0   0   28 
 s4   12   0   -1   0   0   1   0   0   105 
 s5   53/3   0   -4/3   0   0   0   1   0   175 
   -19/3   0   2/3   0   0   0   0   1   8 
The lowest ratio between positive values in column 1 and corresponding values in the the final column is 1.78723404255319 and that is in row 3. So make row 3 the work row. That makes the item in row 3 and column 1 the pivot item.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   -8/3   1   1/3   0   0   0   0   0   4 
 s2   22   0   -3   1   0   0   0   0   63 
 s3   47/3   0   -7/3   0   1   0   0   0   28 
 s4   12   0   -1   0   0   1   0   0   105 
 s5   53/3   0   -4/3   0   0   0   1   0   175 
   -19/3   0   2/3   0   0   0   0   1   8 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 3 by 3 / 47.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   -8/3   1   1/3   0   0   0   0   0   4 
 s2   22   0   -3   1   0   0   0   0   63 
 s3   1   0   -7/47   0   3/47   0   0   0   84/47 
 s4   12   0   -1   0   0   1   0   0   105 
 s5   53/3   0   -4/3   0   0   0   1   0   175 
   -19/3   0   2/3   0   0   0   0   1   8 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 1 to 0.
  1. multiply row 3 by 8 / 3 and add to row 1.
  2. multiply row 3 by -22 and add to row 2.
  3. multiply row 3 by -12 and add to row 4.
  4. multiply row 3 by -53 / 3 and add to row 5.
  5. multiply row 3 by 19 / 3 and add to row 6.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   -3/47   0   8/47   0   0   0   412/47 
 s2   0   0   13/47   1   -66/47   0   0   0   1113/47 
 s3   1   0   -7/47   0   3/47   0   0   0   84/47 
 s4   0   0   37/47   0   -36/47   1   0   0   3927/47 
 s5   0   0   61/47   0   -53/47   0   1   0   6741/47 
   0   0   -13/47   0   19/47   0   0   1   908/47 
Now we need to copy the heading for the work column (column 1) to the heading for the work row (row 3).
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   -3/47   0   8/47   0   0   0   412/47 
 s2   0   0   13/47   1   -66/47   0   0   0   1113/47 
 x1   1   0   -7/47   0   3/47   0   0   0   84/47 
 s4   0   0   37/47   0   -36/47   1   0   0   3927/47 
 s5   0   0   61/47   0   -53/47   0   1   0   6741/47 
   0   0   -13/47   0   19/47   0   0   1   908/47 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -13 / 47  = -0.276595744680851 and that is in column 3. So make column 3 the work column.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   -3/47   0   8/47   0   0   0   412/47 
 s2   0   0   13/47   1   -66/47   0   0   0   1113/47 
 x1   1   0   -7/47   0   3/47   0   0   0   84/47 
 s4   0   0   37/47   0   -36/47   1   0   0   3927/47 
 s5   0   0   61/47   0   -53/47   0   1   0   6741/47 
   0   0   -13/47   0   19/47   0   0   1   908/47 
The lowest ratio between positive values in column 3 and corresponding values in the the final column is 85.6153846153846 and that is in row 2. So make row 2 the work row. That makes the item in row 2 and column 3 the pivot item.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   -3/47   0   8/47   0   0   0   412/47 
 s2   0   0   13/47   1   -66/47   0   0   0   1113/47 
 x1   1   0   -7/47   0   3/47   0   0   0   84/47 
 s4   0   0   37/47   0   -36/47   1   0   0   3927/47 
 s5   0   0   61/47   0   -53/47   0   1   0   6741/47 
   0   0   -13/47   0   19/47   0   0   1   908/47 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 2 by 47 / 13.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   -3/47   0   8/47   0   0   0   412/47 
 s2   0   0   1   47/13   -66/13   0   0   0   1113/13 
 x1   1   0   -7/47   0   3/47   0   0   0   84/47 
 s4   0   0   37/47   0   -36/47   1   0   0   3927/47 
 s5   0   0   61/47   0   -53/47   0   1   0   6741/47 
   0   0   -13/47   0   19/47   0   0   1   908/47 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 3 to 0.
  1. multiply row 2 by 3 / 47 and add to row 1.
  2. multiply row 2 by 7 / 47 and add to row 3.
  3. multiply row 2 by -37 / 47 and add to row 4.
  4. multiply row 2 by -61 / 47 and add to row 5.
  5. multiply row 2 by 13 / 47 and add to row 6.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   3/13   -2/13   0   0   0   185/13 
 s2   0   0   1   47/13   -66/13   0   0   0   1113/13 
 x1   1   0   0   7/13   -9/13   0   0   0   189/13 
 s4   0   0   0   -37/13   42/13   1   0   0   210/13 
 s5   0   0   0   -61/13   71/13   0   1   0   420/13 
   0   0   0   1   -1   0   0   1   43 
Now we need to copy the heading for the work column (column 3) to the heading for the work row (row 2).
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   3/13   -2/13   0   0   0   185/13 
 s1   0   0   1   47/13   -66/13   0   0   0   1113/13 
 x1   1   0   0   7/13   -9/13   0   0   0   189/13 
 s4   0   0   0   -37/13   42/13   1   0   0   210/13 
 s5   0   0   0   -61/13   71/13   0   1   0   420/13 
   0   0   0   1   -1   0   0   1   43 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.

The lowest negative value in the last row is -1 and that is in column 5. So make column 5 the work column.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   3/13   -2/13   0   0   0   185/13 
 s1   0   0   1   47/13   -66/13   0   0   0   1113/13 
 x1   1   0   0   7/13   -9/13   0   0   0   189/13 
 s4   0   0   0   -37/13   42/13   1   0   0   210/13 
 s5   0   0   0   -61/13   71/13   0   1   0   420/13 
   0   0   0   1   -1   0   0   1   43 
The lowest ratio between positive values in column 5 and corresponding values in the the final column is 5 and that is in row 4. So make row 4 the work row. That makes the item in row 4 and column 5 the pivot item.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   3/13   -2/13   0   0   0   185/13 
 s1   0   0   1   47/13   -66/13   0   0   0   1113/13 
 x1   1   0   0   7/13   -9/13   0   0   0   189/13 
 s4   0   0   0   -37/13   42/13   1   0   0   210/13 
 s5   0   0   0   -61/13   71/13   0   1   0   420/13 
   0   0   0   1   -1   0   0   1   43 
Use the elementary row operation *row to change the pivot item to be 1. That is, multiply row 4 by 13 / 42.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   3/13   -2/13   0   0   0   185/13 
 s1   0   0   1   47/13   -66/13   0   0   0   1113/13 
 x1   1   0   0   7/13   -9/13   0   0   0   189/13 
 s4   0   0   0   -37/42   1   13/42   0   0   5 
 s5   0   0   0   -61/13   71/13   0   1   0   420/13 
   0   0   0   1   -1   0   0   1   43 
Now use the elementary row operation *row+ to change the other items in column 5 to 0.
  1. multiply row 4 by 2 / 13 and add to row 1.
  2. multiply row 4 by 66 / 13 and add to row 2.
  3. multiply row 4 by 9 / 13 and add to row 3.
  4. multiply row 4 by -71 / 13 and add to row 5.
  5. multiply row 4 by 1 and add to row 6.
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   2/21   0   1/21   0   0   15 
 s1   0   0   1   -6/7   0   11/7   0   0   111 
 x1   1   0   0   -1/14   0   3/14   0   0   18 
 s4   0   0   0   -37/42   1   13/42   0   0   5 
 s5   0   0   0   5/42   0   -71/42   1   0   5 
   0   0   0   5/42   0   13/42   0   1   48 
Now we need to copy the heading for the work column (column 5) to the heading for the work row (row 4).
   x1   x2   s1   s2   s3   s4   s5   z   
 x2   0   1   0   2/21   0   1/21   0   0   15 
 s1   0   0   1   -6/7   0   11/7   0   0   111 
 x1   1   0   0   -1/14   0   3/14   0   0   18 
 s3   0   0   0   -37/42   1   13/42   0   0   5 
 s5   0   0   0   5/42   0   -71/42   1   0   5 
   0   0   0   5/42   0   13/42   0   1   48 
Having finished the steps of the processing routine, we need to see if there are any remaining negative values in the final column. If so, then we restart the processing steps.
There are no more negative values is the final column. Therefore, regular processing is done...

Display the answers. Note that if a variable does not appear in the following list then it should be given the value 0. The list is generated from the final tableau by reading down the labels on the left and assigning to each the value in the rightmost column. Any slack variables in the labels on the left will be included in the list, but they can be ignored.
When

the objective function has a Maximum = 48

©Roger M. Palay     Saline, MI 48176     October, 2010